浅析有限元方法的发展与应用

大湖之子

浅析有限元方法的发展与应用

1965年“有限元”这个名词第一次在我国出现,到今天有限元在工程上得到广泛应用,经历了三十多年的发展历史,理论和算法都已经日趋完善。有限元法(Finite Element Method,简写为FEM)是求解微分方程的一种非常有效的数值计算方法,用这种方法进行波动数值模拟受到越来越多的重视。

绪论

有限元法是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。它是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。

一、有限元的发展历程

有限元法的发展历程可以分为提出(1943)、发展(1944-1960)和后期(1961-二十世纪九十年代)三个阶段。有限元法是受内外动力的综合作用而产生的。
1943年，柯朗在《美国数学学会公报》(Bulletin of The American Mathematical Society)上发表了《平衡和振动问题的变分解法》 (Variational Methods for The Solution of Problems of Equilibrium And Vibration)一文，这篇文章实际上是他1941年在美国数学学会演讲的书面稿，在其中柯朗提出了有限元法的核心思想。大约与柯朗同时，工程师阿格瑞斯在另一个领域独立地提出了有限元法。柯朗和阿格瑞斯各自在数学和工程学领域独立提出了有限元法，他们分别开创了有限元法的数学传统和工程学传统。

有限元法被提出来以后，经过一段时间的沉寂期，在二十世纪五十年代和六十年代初有了很大的发展。主要表现为在代数表达形式、单元划分、单元类型选择和解的收敛性研究上取得的突破。1960年，克劳夫在《平面应力分析中的有限元》(The Finite Element in Plan Stress Analysis)的论文中，第一次从数学上说明了将定义域划分成有限的单元能够成功的原因:他表明对一些特定类型的单元来说，随着单元尺寸的减小，近似解将收敛到精确解，这就在某些情况下证明了有限元法的收敛性。并第一次提出了“有限元法”这个名称，这个名称一直沿用至今，标志着有限元法早期发展阶段的结束。

有限元法后期阶段的发展有国外和国内两条线索。在国外的发展表现为: 第一，建立了严格的数学和工程学基础；第二，应用范围扩展到了结构力学以外的领域；第三，收敛性得到了进一步研究，形成了系统的误差估计理论；第四，发展起了相应的商业软件包。

在国内，我国数学家冯康在特定的环境中独立于西方提出了有限元法。1965年，他发表论文《基于变分原理的差分格式》，标志着有限元法在我国的诞生。冯康的这篇文章不但提出了有限元法，而且初步发展了有限元法。他得出了有限元法在特定条件下的表达式，独创了“冯氏大定理”并且初步证明了有限元法解的收敛性。虽然冯康创造的有限元法不成熟，但他能在当时的条件下独立提出有限元法已十分不易。对于他的这项成就，国内外专家学者和国家领导人都有很高的评价。

半个世纪来，有限单元法蓬勃发展，不仅已经成为结构分析中必不可少的工具，而且成为现象分析的一种手段。其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题以及建筑声学与噪音问题。不仅涉及稳态场问题，还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂力学等。

已出现多种新单元（先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元）和求解方法（如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等） 。能解决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。 对网格自动剖分和网格自适应过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。

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二、有限元法解题思路

有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：1.物体离散化；2.单元特性分析；3.单元组集；4.求解未知结点位移。

1.物体离散化

将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

2.单元特性分析

(1)选择位移模式，通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。这种函数称为位移模式或位移函数。

(2)分析单元的力学性质，据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。

(3)计算等效节点力，物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
3.单元组集

利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。

4.求解未知结点位移

最后利用已求出结点位移计算各个单元的应力，并经后处理软件整理、显示计算结果。有限元法是应用局部的近似解来建立整个定义域的解的一种方法。 先把注意力集中在单个单元上，进行上述所谓的单元分析。基本前提是每一单元要尽可能小，以致其边界值在整个边界上的变化也是小的。这样，边界条件就能取某一在结点间插值的光滑函数来近似，在单元内也容易建立简单的近似解。因此，比起经典的近似法，有限元法具有明显的优越性。

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三、有限元方法的实施过程

有限元法在计算机软件中应用尤为突出，可以说有限元法与生俱来就是为了使用计算来进行复杂的计算。有限元方法的实施过程可以分为三个步骤：
1.前处理。将整体结构或其一部分简化为理想的数学模型，用离散化的网格代替连续的实体结构。

2.计算分析。分析计算结构的受力、变形及特性。

3.将计算结果进行整理和归纳。

对于有限元程序使用者而言，第一步和第三步的工作量最大，一个有限元程序的好坏，在很大程度上取决于第一步的前处理和第三步的后处理功能是否强大。

前处理：对于第一步的前处理而言，要根据计算的目的和所关心的区域，将结构模型化、离散化。需要给出下列信息：

(1)节点的空间位置。
(2)单元与节点的连接信息。
(3)结构的物质特性和材料参数。
(4)边界条件或约束。
(5)各类载荷。

在构成离散模型时，为了使模型较为合理，必须遵循以下的原则：

1.使计算模型尽量简化，以减少计算时间和容量，但又必须抓住主要因素以不影响计算精度。

2.在所关心的区域加密计算网格。

后处理：有限元计算是一种大规模的科学计算，其特点是除了要花费巨大的计算机处理能力外，在计算过程中还会产生巨大数量的数字信息。只有在计算输出信息进行仔细分析理解之后，才能洞察计算中发生的情况和问题，才能获得对被研究对象的认识和见解。
在大多数情况下，被研究的对象都是三维介质中的场分布问题（应力分布、位移分布、压力分布、电场分布等），即所谓的“四维”问题。鉴于其计算结果分析的复杂性，人们提出了科学计算可视性的要求，即把四维的数据进行图形处理或称为可视化处理，使人们能够看到场的分布图象，从图象上直接进行分析、判断来获得有用的结论。这大大加快和加深了人们对计算对象的物理变化过程的认识，发现通常通过数值信息发现不了的现象，甚至获得意料之外的启发和灵感，从而缩短了研究和设计周期，提高了效率，获得更多的结果。

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四、有限元的应用是在于多物理场的耦合

随着计算机技术的迅速发展，在工程领域中，有限元分析（FEA）越来越多地用于仿真模拟，来求解真实的工程问题。这些年来，越来越多的工程师、应用数学家和物理学家已经证明这种采用求解偏微分方程（PDE）的方法可以求解许多物理现象，这些偏微分方程可以用来描述流动、电磁场以及结构力学等等。有限元方法用来将这些众所周知的数学方程转化为近似的数字式图象。

早期的有限元主要关注于某个专业领域，比如应力或疲劳，但是，一般来说，物理现象都不是单独存在的。例如，只要运动就会产生热，而热反过来又影响一些材料属性，如电导率、化学反应速率、流体的粘性等等。这种物理系统的耦合就是我们所说的多物理场，分析起来比我们单独去分析一个物理场要复杂得多。很明显，我们现在需要一个多物理场分析工具。在上个世纪90年代以前，由于计算机资源的缺乏，多物理场模拟仅仅停留在理论阶段，有限元建模也局限于对单个物理场的模拟，最常见的也就是对力学、传热、流体以及电磁场的模拟。看起来有限元仿真的命运好像也就是对单个物理场的模拟。  

现在这种情况已经开始改变。经过数十年的努力，计算科学的发展为我们提供了更灵巧简洁而又快速的算法，更强劲的硬件配置，使得对多物理场的有限元模拟成为可能。新兴的有限元方法为多物理场分析提供了一个新的机遇，满足了工程师对真实物理系统的求解需要。

下面通过几个例子来展示多物理场的有限元分析在未来的一些潜在应用:

压电扩音器（Piezoacoustic transducer）可以将电流转换为声学压力场，或者反过来，将声场转换为电流场。这种装置一般用在空气或者液体中的声源装置上，比如相控阵麦克风，超声生物成像仪，声纳传感器，声学生物治疗仪等，也可用在一些机械装置比如喷墨机和压电马达等。压电扩音器涉及到三个不同的物理场：结构场，电场以及流体中的声场。只有具有多物理场分析能力的软件才能求解这个模型。压电材料选用PZT5-H晶体，这种材料在压电传感器中用得比较广泛。在空气和晶体的交界面处，将声场边界条件设置为压力等于结构场的法向加速度，这样可以将压力传到空气中去。另外，晶体域中又会因为空气压力对其的影响而产生变形。仿真研究了在施加一个幅值200V，震荡频率为300 KHz的电流后，晶体产生的声波传播。这个模型的描述及其完美的结果表明在任何复杂的模型下，我们都可以用一系列的数学模型进行表达，进而求解。

将基片的电磁、电阻以及传热行为耦合起来需要一个真正的多物理场分析工具。一个典型的应用是在半导体的加工和退火的工艺中，有一种利用感应加热的热壁熔炉，它用来让半导体晶圆生长，这是电子行业中的一项关键技术。

例如，金刚砂在2000℃的高温环境下可以取代石墨接收器，接收器由功率接近10KW的射频装置加热。在如此高温下要保持炉內温度的均匀，炉腔的设计至关重要。经过多物理场分析工具的分析，发现热量主要是通过辐射的方式进行传播的。在模型內不仅可以看到晶圆表面温度的分布，还可以看到熔炉的石英管上的温度分布。在电路设计中，影响材料选择的重要方面是材料的耐久性和使用寿命。电器小型化的趋势使得可在电路板上安装的电子元件发展迅猛。众所周知，安装在电路板上的电阻以及其他一些元件会产生大量的热，进而可能使得元件的焊脚处产生裂缝，最后导致整个电路板报废。多物理场分析工具可以分析出整个电路板上热量的转移，结构的应力变化以及由于温度的上升导致的变形。这样做可以用来提升电路板设计的合理性以及材料选择的合理性。

计算机能力的提升使得有限元分析由单场分析到多场分析变成现实，未来的几年内，多物理场分析工具将会给学术界和工程界带来震惊。单调的“设计－校验”的设计方法将会慢慢被淘汰，虚拟造型技术将让你的思想走得更远，通过模拟仿真将会点燃创新的火花。

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五、总结

本文阐述了有限元法的发展历史、解题思路以及对未来发展应用的展望，总结了有限元法在计算机程序中的实现过程。使大家对有限元法的理论有了进一步的了解，并使有限元法这高级计算方法更接近我们的生活，更容易地理解到有限元法的实施过程。随着科技的发展与软件的更新，有限元法将得到更广泛的应用。

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